Atmosphärische Felder sind kontinuierlich formuliert — ein numerisches Modell besitzt nur endlich viele Freiheitsgrade:Wie werden Raum, Ableitungen und Flüsse auf einem Gitter repräsentiert?

Diskretisierung ersetzt kein physikalisches Gesetz — sie ersetzt die unendlich vielen räumlichen Freiheitsgrade durch eine endliche Repräsentation.

In den Prognosegleichungen ist eine Größe φ zunächst ein Feld φ(x,y,z,t), also an jedem Raumpunkt definiert. Ein Computer kann dieses Kontinuum nicht speichern. Er führt deshalb Werte an diskreten Orten oder Mittelwerte über endliche Zellen.

Diese beiden Zahlen sehen ähnlich aus, besitzen aber unterschiedliche numerische Bedeutung. Ein Punktwert repräsentiert das Feld an einer Lage; ein Zellmittel repräsentiert den mittleren Inhalt eines Kontrollvolumens. Deshalb müssen auch Ableitungen, Flüsse und Quellterme zur gewählten Repräsentation passen.

Gradienten und Divergenzen werden aus Nachbarwerten oder Flüssen an Zellflächen rekonstruiert.

Eine zentrale Differenz approximiert die erste Ableitung an einem Knoten durch symmetrische Nachbarn:

Für ein hinreichend glattes Feld besitzt dieses einfache Stencil einen Trunkierungsfehler zweiter Ordnung: Verkleinert man Δx, fällt der führende Fehler proportional zu Δx². In einer Finite-Volumen-Darstellung steht dagegen das Zellbudget im Zentrum:

Hier ändert sich der Zellinhalt durch den Nettofluss über die Zellgrenzen plus Quellen Sᵢ. Das ist besonders nützlich, wenn diskrete Erhaltungseigenschaften explizit kontrolliert werden sollen.

Δx ist die Gitterweite — nicht die kleinste meteorologisch vertrauenswürdige Struktur.

Auf einem äquidistanten Gitter ist eine sinusförmige Welle der Wellenlänge λ für beliebige Phase nur dann ohne fundamentale Abtastmehrdeutigkeit eindeutig rekonstruierbar, wenn sie strictly oberhalb der Nyquist-Grenze liegt:

Am exakten Grenzfall λ=2Δx hängt die diskrete Information stark von der Phase ab; für die zentrale Differenz gilt sogar R∇=sin(π)/π=0. Die Nyquist-Grenze ist daher kein Qualitätskriterium. Schon nahe λ=2Δx liegen zu wenige Stützstellen vor, um Gradienten und Phasen gut zu rekonstruieren. Numerische Diffusion, Filterung, Advektion und das gewählte Stencil führen dazu, dass die effektive Auflösung eines realen Modells typischerweise mehrere Gitterweiten beträgt. Die genaue Zahl ist verfahrensabhängig; sie ist kein universeller Faktor.

Strukturen unterhalb der darstellbaren Skala verschwinden nicht physikalisch — sie fehlen nur als explizite Freiheitsgrade. Ihre mittlere Wirkung muss später gegebenenfalls parametrisiert werden; das ist Gegenstand von K05.

Auch auf demselben Gitter kann die Position der Variablen die Kopplung diskreter Operatoren verändern.

Atmosphärenmodelle speichern nicht zwingend alle Größen am selben Ort. Auf einem Arakawa-C-Gitter liegen skalare Größen wie Druck oder Temperatur typischerweise in Zellzentren, während die Normal-Komponenten des Windes auf den jeweiligen Zellflächen liegen. Dadurch lassen sich Druckgradient und Massenfluss geometrisch natürlich koppeln.

In der Vertikalen kommen zusätzlich Höhen-, Druck-, Sigma- oder hybride Koordinaten vor. Über komplexer Topographie können geländefolgende Flächen die untere Randbedingung vereinfachen, zugleich aber die Geometrie horizontaler Gradienten numerisch anspruchsvoller machen.

Teste an einer analytischen Welle, wie Gitterweite und Wellenlänge die Information im diskreten Gradienten verändern.

Das Labor verwendet φ(x)=sin(kx+ϕ) mit k=2π/λ. Für die zentrale Differenz lässt sich der numerische Gradient exakt als Vielfaches des analytischen Gradienten schreiben:

Der Faktor R∇=sin(kΔx)/(kΔx) ist die räumliche Übertragungsfunktion dieses Stencils für eine reine Sinuswelle. Er zeigt direkt, wie stark der diskrete Operator die Gradientamplitude dämpft oder — jenseits der Nyquist-Grenze — sogar mehrdeutig abbildet.

Räumliche Diskretisierung erzeugt mehrere verschiedene Fehler — „zu grob“ ist nur eine davon.

Diese Fehler sind räumlich. Ob ein zeitliches Integrationsverfahren für eine gegebene Kombination aus Δx, Strömungsgeschwindigkeit und Δt stabil ist, ist eine separate Frage — genau dort beginnt K04.

Ein dreidimensionales Modellgitter macht aus wenigen Feldgleichungen sehr viele gekoppelte Freiheitsgrade.

Hat ein Modell Nₓ×Nᵧ×N_z Gitterpunkte oder Zellen und prognostiziert dort n Variablen, liegt die Größenordnung des Zustandsvektors bei n·Nₓ·Nᵧ·N_z. Schon ein moderates 500×500×80-Gitter mit zehn prognostischen Komponenten enthält etwa 200 Millionen skalare Freiheitsgrade.

Das erklärt, warum Auflösung nicht nur eine meteorologische, sondern auch eine algorithmische Entscheidung ist: kleinere Δx erhöht die Zahl der räumlichen Freiheitsgrade in drei Dimensionen sehr stark. Die zusätzliche Einschränkung des Zeitschritts wird erst in K04 behandelt.

K03 diskretisiert den Raum — noch nicht die Zeit.

Wir haben festgelegt, wo Modellvariablen liegen und wie räumliche Operatoren approximiert werden. Noch offen ist, wie groß ein Zeitschritt sein darf und warum explizite Integrationsverfahren bei zu großem Δt numerisch instabil werden können. K04 verbindet daher räumliche Gitterweite, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Zeitschritt.

K03 macht aus kontinuierlichen Feldgleichungen ein endliches räumliches Rechenproblem.

Cross-References