Δt ist nicht nur ein Rechenintervall — es bestimmt, wie weit physikalische Information in einem numerischen Schritt wandern darf.
Für die lineare Advektionsgleichung
wird eine Formstruktur mit Geschwindigkeit c ohne Formänderung transportiert. Die exakte Lösung lautet φ(x,t)=φ₀(x−ct). Nach einem Zeitschritt Δt stammt der Wert am Ort x also vom Charakteristikfuß x−cΔt. Ein explizites numerisches Verfahren kann nur auf Werte zugreifen, die in seinem räumlichen Stencil vorhanden sind.
Damit treffen K03 und K04 direkt aufeinander: Δx bestimmt den räumlichen Informationsradius; Δt bestimmt die physikalische Transportdistanz cΔt pro Schritt.
Der numerische Abhängigkeitsbereich muss den physikalischen Abhängigkeitsbereich enthalten.
Für ein einfaches explizites Upwind-Schema mit positiver Transportgeschwindigkeit greift der neue Wert φⱼⁿ⁺¹ nur auf φⱼⁿ und φⱼ₋₁ⁿ zurück. Der Charakteristikfuß xⱼ−cΔt muss deshalb zwischen diesen Gitterpunkten liegen:
Das ist die Courant–Friedrichs–Lewy-Bedingung für dieses Lehrschema. Allgemeiner vergleicht eine CFL-Bedingung die schnellste relevante Signalausbreitung mit der räumlichen Reichweite des numerischen Verfahrens pro Zeitschritt.
Ob ein Zeitschritt stabil ist, hängt auch vom konkreten Raum-Zeit-Schema ab.
Drei Verfahren für dieselbe Advektionsgleichung illustrieren das:
| Schema | Update | Stabilität für lineare Advektion |
|---|---|---|
| Upwind + Forward Euler | φⱼⁿ⁺¹=(1−C)φⱼⁿ+Cφⱼ₋₁ⁿ | 0≤C≤1 |
| Zentriert + Forward Euler (FTCS) | φⱼⁿ⁺¹=φⱼⁿ−(C/2)(φⱼ₊₁ⁿ−φⱼ₋₁ⁿ) | für C≠0 spektral instabil |
| Lax–Friedrichs | Nachbarmittel minus zentrierter Transportterm | |C|≤1, aber dissipativ |
Damit ist eine verbreitete Fehlinterpretation ausgeschlossen: C≤1 garantiert nicht automatisch Stabilität jedes expliziten Schemas. Die CFL-Zahl ist Teil der Stabilitätsanalyse; der Amplifikationsfaktor des vollständigen diskreten Verfahrens entscheidet.
Eine diskrete Fourier-Mode wird pro Zeitschritt mit einem komplexen Faktor G multipliziert.
Für eine Mode φⱼⁿ=Âⁿeijθ wird das lineare Schema zu
Der Betrag |G| kontrolliert die Amplitude: |G|<1 dämpft die Mode numerisch, |G|>1 lässt sie wachsen. Das Argument arg(G) bestimmt die numerische Phasenverschiebung und damit die Phasengeschwindigkeit. Für ein lineares konstantes Problem ist spektrale Stabilität gegeben, wenn maxθ|G|≤1.
Verändere c, Δx, Δt und die betrachtete Wellenlänge — und vergleiche drei Raum-Zeit-Schemata.
Das Lab bleibt beim linearen Lehrproblem. Die gewählte Welle besitzt λ=(λ/Δx)·Δx und damit die dimensionslose Wellenzahl θ=2π/(λ/Δx). Für jedes Schema werden der Modenfaktor |G| und das Maximum über das gesamte diskrete Spektrum getrennt ausgewiesen.
Ein stabiles Verfahren kann Wellen zu stark dämpfen oder mit falscher Phase transportieren.
Numerische Dissipation reduziert Amplituden, besonders bei kurzwelligen Strukturen. Numerische Dispersion bedeutet, dass unterschiedliche Wellenlängen mit falschen Phasengeschwindigkeiten laufen. Beides kann meteorologische Strukturen verschieben, verbreitern oder abschwächen, obwohl die Rechnung formal stabil bleibt.
Deshalb wird Δt in realen Modellen nicht nur so gewählt, dass eine Stabilitätsgrenze knapp eingehalten wird. Genauigkeit, Kopplung unterschiedlicher Prozesse und die Eigenschaften des Integrators können einen kleineren effektiven Zeitschritt verlangen.
Die restriktivste Zeitskala muss nicht die meteorologisch interessanteste sein.
In kompressiblen atmosphärischen Gleichungen können akustische Wellen wesentlich schneller laufen als typische synoptische Strömungen. Auch Schwerewellen und vertikale Prozesse erzeugen kurze Zeitskalen. Ein vollständig explizites Schema müsste seinen Zeitschritt an der schnellsten numerisch relevanten Ausbreitung orientieren.
Operationelle Modelle umgehen diese Kosten teilweise durch semi-implizite, split-explicit oder andere mehrskalige Integrationsverfahren. Diese Methoden verändern die numerische Behandlung schneller Moden, nicht die zugrunde liegende Forderung, dass Diskretisierung und Informationsausbreitung konsistent bleiben müssen.
Ein kleineres Δx vergrößert nicht nur das Gitter — es erzwingt bei expliziten Verfahren oft zusätzlich ein kleineres Δt.
Halbiert man in einem dreidimensionalen Gebiet Δx, Δy und die charakteristische vertikale Gitterweite, steigt die Zahl der räumlichen Freiheitsgrade grob um den Faktor acht. Muss zugleich Δt wegen einer CFL-Bedingung etwa halbiert werden, verdoppelt sich die Zahl der Zeitschritte. In einer idealisierten Skalierung wächst der Rechenaufwand damit bereits ungefähr um einen Faktor sechzehn, noch bevor komplexere Physik oder Kommunikationskosten berücksichtigt werden.
Auflösung ist daher eine gekoppelte Entscheidung über Raum, Zeit, Numerik und verfügbare Rechenleistung.
K04 behandelt die numerische Dynamik explizit aufgelöster Freiheitsgrade — noch nicht die Wirkung nicht aufgelöster Prozesse.
Selbst ein stabiles, fein aufgelöstes Modellgitter kann Prozesse enthalten, die kleiner als Δx oder Δz sind: turbulente Wirbel, Wolkenmikrophysik, Konvektion oder Oberflächenheterogenität. Deren mittlere Wirkung auf die prognostischen Variablen führt direkt zu K05: Parametrisierungen und Subgrid-Prozesse.
K04 koppelt Raumdiskretisierung, Zeitschritt und Spektraleigenschaften zu einem numerischen Stabilitätsproblem.
C=|c|Δt/Δx misst die physikalische Transportdistanz in Gittereinheiten.
Der numerische Informationsbereich muss den physikalischen einschließen.
Die CFL-Zahl allein entscheidet nicht über Stabilität; das vollständige Raum-Zeit-Schema zählt.
|G| kontrolliert Amplitudenwachstum oder -dämpfung einer diskreten Fourier-Mode.
Stabilität verhindert unkontrolliertes Wachstum, nicht automatisch Dissipations- oder Phasenfehler.
K05 behandelt die Wirkung nicht explizit aufgelöster Prozesse auf den Modellzustand.
Cross-References
Wie werden Wirkungen von Prozessen dargestellt, die das Modellgitter nicht explizit auflösen kann?