Ein minimales dynamisches Modell trennt Zustand, Parameter, Eingang und Diagnose.
Für ein lokales horizontales Luftpaket wählen wir
Die Position (x,y) beschreibt die Kinematik, die Geschwindigkeit (u,v) den dynamischen Zustand. Das Druckfeld liefert einen externen Eingang über die Druckgradientbeschleunigung; Breite φ bestimmt f, und eine effektive Relaxationszeit τ parametrisiert lineare Reibung.
Druckgradient, Coriolis und lineare Reibung bilden ein geschlossenes lokales ODE-System.
Mit x nach Osten und y nach Norden gilt:
In Matrixform für den Windvektor:
Dieses reduzierte System enthält bewusst keine Krümmung, keine vertikale Diffusion und keine räumlich variierenden Windgradienten. Es ist der kleinste zeitabhängige Kern, der M5K1–M5K6 in einer gemeinsamen Dynamik verbindet.
Geostrophischer und reibungsbeeinflusster Wind erscheinen als stationäre Zustände desselben Systems.
Mit λ=1/τ folgt für den stationären Fixpunkt d vh/dt=0:
Für τ→∞ verschwindet die Reibung und der Fixpunkt geht — sofern f≠0 — in den geostrophischen Wind über. Für f→0 bleibt bei endlicher τ dagegen ein endlicher reibungsdominierter Fixpunkt
Die scheinbare geostrophische Singularität am Äquator gehört damit nicht zum vollständigen reibungsbehafteten ODE-Modell.
Der Abstand zum Fixpunkt rotiert inertial und zerfällt gleichzeitig exponentiell.
Für die Windabweichung δv=v−v* lauten die Eigenwerte des Geschwindigkeitssystems:
Daraus folgt die exakte Relaxation:
wobei R eine zweidimensionale Rotationsmatrix ist. Der Betrag der Abweichung fällt daher exakt wie exp(−t/τ); gleichzeitig rotiert sie mit der Inertialfrequenz |f|. Das dimensionslose Verhältnis
misst in diesem Modell die Konkurrenz von Rotation und linearer Reibung. Entscheidend ist dabei der Abstand |v−v*| zum Fixpunkt: Er fällt monoton exponentiell. Der Geschwindigkeitsbetrag |v| selbst muss wegen der Rotation um v* nicht monoton gegen |v*| laufen und kann vorübergehend darüber liegen. Die Regimebezeichnungen im Lab verwenden nur illustrative Schwellen bei Λ=0,5 und Λ=2; sie sind keine operationellen meteorologischen Kategorien.
Eine vollständige Zeitentwicklung im (u,v)-Zustandsraum beobachten.
Das Lab verwendet eine konstante Druckabnahme Δp über L in Richtung βT, konstante Dichte ρ=1,20 kg/m³ und die lokale f-Ebene. Anfangsgeschwindigkeit und Bewegungsazimut χ₀ werden frei gesetzt. Die Lösung wird analytisch berechnet — ohne numerischen Integrationsfehler.
M5K7 zeigt, warum ein einziges τ keine reale Grenzschicht ersetzen kann.
Wird lineare Reibung durch turbulente vertikale Impulsdiffusion ersetzt,
wird aus dem 0D-Windzustand ein vertikal aufgelöstes Feld v(z,t). Die Ekman-Schicht ist damit keine zusätzliche Kraftidee, sondern eine höherdimensionale Schließung desselben Impulsbudgets.
Divergenz und Vorticity existieren erst, wenn der Zustand räumliche Nachbarschaft enthält.
Ein einzelnes Luftpaket liefert u und v, aber keine räumlichen Ableitungen. Für M5K8 und M5K9 muss der Zustand zu einem Feld vh(x,y,t) erweitert werden. Dann wird der Geschwindigkeitsgradient
zum zentralen lokalen Strukturobjekt. Seine Spur liefert Divergenz,
sein antisymmetrischer Anteil die relative Vorticity
Ein gutes Systemmodell sagt nicht nur, was es berechnet, sondern auch, welche Zustände ihm fehlen.
Das Lab ist ein lokales, lineares, zeitinvariantes ODE-Modell mit konstantem Druckgradienten, konstantem f und Rayleigh-Reibung. Es enthält keine Krümmung, keine β-Ebene, keine Druckrückkopplung, keine Kontinuitätskopplung, keine Vorticity-Advektion und keine thermodynamische Rückkopplung.
Die vollständige atmosphärische Dynamik entsteht erst, wenn Impuls-, Massen- und Thermodynamikgleichungen gemeinsam als räumlich und zeitlich veränderliches Feldsystem gelöst werden. Genau dort beginnen die numerischen Wettermodelle von M10.
M05 schließt den Weg vom einzelnen Kraftterm zum gekoppelten dynamischen Feldsystem.
Der minimale lokale Zustand ist [x,y,u,v].
Wind erzeugt über Coriolis und Reibung selbst Beschleunigung.
Geostrophie und Grenzschichtwind sind stationäre Grenzfälle derselben Dynamik.
Die Abweichung vom Fixpunkt rotiert mit f und zerfällt mit τ.
Divergenz und Vorticity erfordern räumliche Ableitungen und damit ein Feldmodell.
Die nächste Ebene koppelt Dynamik an Luftmassen, Fronten und Zyklonen.
Cross-References
Wie organisiert sich das bisherige lokale Dynamiksystem zu synoptischen Strukturen mit Luftmassen, Fronten, Druckgebieten und Zyklonen?