Divergenz und Vorticity sind zwei verschiedene Informationen derselben lokalen Ableitungsmatrix.
Für das horizontale Windfeld vh=(u,v) lautet der lokale Geschwindigkeitsgradient:
M5K8 verwendete die Spur dieser Matrix:
M5K9 betrachtet nun die antisymmetrische Kombination der Kreuzableitungen.
Die vertikale relative Vorticity misst die lokale Rotation des horizontalen Windfelds.
Mit x nach Osten und y nach Norden gilt:
Positive ζ bedeutet mathematisch positive, also gegen den Uhrzeigersinn gerichtete Rotation in der x-y-Ebene, von oben betrachtet. Negative ζ entspricht dem Uhrzeigersinn.
Auf der Nordhalbkugel ist positive relative Vorticity zyklonisch; auf der Südhalbkugel ist zyklonische relative Vorticity negativ. Allgemein ist relative Vorticity zyklonisch, wenn ζ dasselbe Vorzeichen wie f besitzt.
Vorticity ist doppelt so groß wie die lokale Winkelgeschwindigkeit des antisymmetrischen Rotationsanteils.
Für reine starre Rotation mit Winkelgeschwindigkeit Ωr gilt:
Ein allgemeines Windfeld kann jedoch gleichzeitig scheren oder deformieren. Daher darf ζ/2 nicht unkritisch als beobachtete Drehgeschwindigkeit jedes endlichen Materialsegments interpretiert werden.
Zirkulation integriert den tangentialen Geschwindigkeitsanteil entlang einer geschlossenen Kurve.
Für eine positiv, also gegen den Uhrzeigersinn orientierte Kurve C:
Das Stokes-Theorem verbindet diese Linienintegration mit der Flächenintegration der Vorticity:
Ist ζ über die Fläche konstant, vereinfacht sich die Beziehung zu:
Kreuzableitungen, Zirkulation, Scherung und planetare Vorticity gemeinsam untersuchen.
Das Lab verwendet das lineare, diverganzfreie Lehrfeld
mit q=∂v/∂x und r=∂u/∂y. Daraus folgen ζ=q−r und die Scherdeformationsrate Sxy=(q+r)/2. Eine gleichförmige Translation U0 verändert die lokalen Windvektoren, aber weder ζ noch Γ.
Die Atmosphäre rotiert relativ zur bereits rotierenden Erde.
Zur relativen Vorticity ζ kommt die planetare Vorticity f:
η ist die vertikale absolute Vorticity in der lokalen f-Ebenen-Näherung. Sie ist noch nicht die potentielle Vorticity; dafür wären zusätzliche thermodynamische beziehungsweise Schichtinformationen erforderlich.
„Zyklonisch“ ist hemisphärenabhängig — das mathematische Vorzeichen von ζ allein reicht nicht.
Eine relative Vorticity ist zyklonisch, wenn ζ und f dasselbe Vorzeichen besitzen. Auf der Nordhalbkugel bedeutet das ζ>0, auf der Südhalbkugel ζ<0. Bei entgegengesetzten Vorzeichen ist die relative Vorticity antizyklonisch.
Am Äquator ist f≈0; dort ist diese lokale Zuordnung über das Vorzeichen von f nicht sinnvoll.
Das Lab diagnostiziert lokale Kinematik — es prognostiziert keine Wirbelentwicklung.
Das Lehrfeld u=U₀+ry, v=qx besitzt konstante Kreuzableitungen und ist horizontal diverganzfrei. Es enthält keine Druckrückkopplung, keine Reibung, keine räumliche Änderung von ζ, keine β-Ebene und keine vertikale Vorticity-Streckung.
Die quadratische Schleife dient nur zur exakten Demonstration von Stokes für konstante ζ. In realen atmosphärischen Feldern variiert ζ räumlich, und Γ entspricht dann dem Flächenintegral der lokalen Vorticity.
Vorticity ist das lokale Rotationsmaß; Zirkulation ist seine integrierte Flächenwirkung.
ζ=∂v/∂x−∂u/∂y ist der vertikale Curl des horizontalen Windfelds.
ζ/2 ist der antisymmetrische Rotationsanteil; Scherdeformation kann gleichzeitig vorhanden sein.
Γ=∮v·dl und bei konstantem ζ gilt Γ=ζA.
Ein gleichförmiges U₀ verändert Windvektoren, aber weder ζ noch Γ.
η=f+ζ verbindet relative Rotation mit Erdrotation.
M5K10 koppelt Kräfte, Wind, Divergenz und Vorticity zu einem dynamischen Systemmodell.
Cross-References
Wie lassen sich Druckgradient, Coriolis, Reibung, Divergenz und Vorticity zu einem konsistenten Zustands- und Kopplungsmodell der horizontalen Atmosphäre verbinden?