Divergenz entsteht erst aus räumlichen Unterschieden benachbarter Geschwindigkeitsvektoren.
Ein einzelner Windvektor sagt nichts über Divergenz. Erst ein Feld
erlaubt die Frage, ob benachbarte Luftpakete auseinanderlaufen oder zusammenrücken. Entscheidend sind lokale räumliche Ableitungen des Windfelds, nicht dessen absoluter Betrag.
Horizontale Divergenz ist die Spur des horizontalen Geschwindigkeitsgradienten.
Im lokalen kartesischen System mit x nach Osten und y nach Norden gilt:
Die Einheit ist s⁻¹. Positive Werte bedeuten lokale horizontale Divergenz, negative Werte horizontale Konvergenz. Für Dh=0 bleibt die infinitesimale Materialfläche lokal erhalten — auch wenn sich ihre Form ändern kann.
Divergenz ist die relative Änderungsrate einer mit der Strömung bewegten Fläche.
Für eine infinitesimale horizontale Materialfläche A gilt lokal:
Bei räumlich und zeitlich konstantem Dh folgt:
Die charakteristische Zeitskala ist 1/|Dh|. Kleine Werte in s⁻¹ können deshalb über mehrere Stunden erhebliche Flächenänderungen erzeugen.
Gegensinnige Streckung kann die Form stark ändern, ohne die Fläche zu ändern.
Im linearen Feld
gilt Dh=a+b. Der Unterschied
beschreibt hier eine einfache normale Deformation. Ist beispielsweise a=−b, dann ist Dh=0: Die Fläche bleibt konstant, obwohl ein Rechteck gestreckt und gleichzeitig in der senkrechten Richtung zusammengedrückt wird.
Ein lineares Windfeld, seine Materialfläche und die Kontinuitätsdiagnose gemeinsam untersuchen.
Das Lab verwendet u=ax und v=by um ein lokales Feldzentrum. Die beiden Ableitungen a=∂u/∂x und b=∂v/∂y sind direkt einstellbar. L bestimmt die betrachtete horizontale Spannweite, H die Tiefe einer idealisierten Schicht und Δt die Zeit für die exakte Materialflächenentwicklung.
Massenerhaltung koppelt horizontale Divergenz an Dichteänderung und vertikale Bewegung.
Die vollständige Kontinuitätsgleichung lautet:
In einer inkompressiblen beziehungsweise Boussinesq-Näherung mit näherungsweise konstanter Referenzdichte folgt
also
Eine einfache Schichtdiagnose übersetzt Dh in einen vertikalen Geschwindigkeitsgradienten.
Nimmt man Dh als über eine Schichttiefe H konstant an und setzt an der Untergrenze w(0)=0, dann folgt im Boussinesq-Grenzfall:
Im Lab ist w* ausdrücklich eine Kontinuitätsdiagnose, keine allgemeine Vertikalwindvorhersage. In der realen Atmosphäre ändern Kompressibilität, Dichteprofil, räumlich variierende Divergenz, Topographie und zeitliche Entwicklung die Beziehung.
Divergenz ist lokal und koordinatenabhängig zu berechnen — Wetterwirkung folgt nicht aus dem Vorzeichen allein.
Das Lab verwendet ein kartesisches lineares Feld u=ax, v=by. Es enthält keine Scherrotation, keine gekrümmten Koordinaten, keine räumliche Änderung der Ableitungen und keine Rückkopplung des Druckfelds. Die Materialflächenentwicklung ist für dieses vorgeschriebene lineare Feld exakt.
Die Boussinesq-Vertikaldiagnose ist dagegen bewusst idealisiert. Für synoptische Diagnosen müssen Divergenz, Vertikalbewegung, Dichte und Drucktendenz gemeinsam im dreidimensionalen Massenbudget betrachtet werden.
Divergenz verbindet die Geometrie eines Windfelds mit Massenerhaltung.
Dh=∂u/∂x+∂v/∂y misst lokale horizontale Flächenänderung.
Dh>0 bedeutet Divergenz, Dh<0 Konvergenz.
Bei konstantem Dh gilt A/A₀=exp(Dht).
Divergenzfrei bedeutet nicht formstabil: a=−b kann stark deformieren.
Im Boussinesq-Grenzfall gilt ∂w/∂z=−Dh.
M5K9 ergänzt Rotation des Windfelds: Vorticity & Zirkulation.
Cross-References
Wie misst man die lokale Rotation eines Windfelds — und wie hängt sie mit der Zirkulation entlang einer geschlossenen Kurve zusammen?