Temperaturänderung und Energieänderung werden quantitativ gekoppelt.
Die Wärmekapazität C eines Systems beschreibt, wie viel Energie für eine bestimmte Temperaturänderung unter einer festgelegten Prozessbedingung übertragen werden muss. Für eine kleine Änderung schreiben wir:
Da C mit der Systemgröße wächst, verwenden wir meist die spezifische Wärmekapazität c:
Im starren Behälter geht die zugeführte Energie vollständig in ΔU.
Wird ein geschlossenes ideales Gas in einem starren Behälter erwärmt, ändert sich sein Volumen nicht. Es wird keine Volumenarbeit verrichtet. Dann gilt im kalorisch perfekten Modell:
Damit knüpft M2K3 direkt an M2K2 an: Bei konstantem Volumen entspricht die zugeführte Wärme der Änderung der inneren Energie.
Bei konstantem Druck muss das Gas zusätzlich expandieren.
Halten wir den Druck konstant, kann sich das Volumen beim Erwärmen vergrößern. Ein Teil des Energieaustauschs erhöht weiterhin die innere Energie; ein weiterer Teil ist mit der Expansion gegen den Außendruck verbunden.
Für dieselbe Masse und dieselbe zugeführte Energie ist deshalb die Temperaturänderung bei konstantem Druck kleiner als bei konstantem Volumen.
Für ideales trockenes Gas ist die Differenz besonders einfach.
Für ein ideales Gas gilt zwischen den beiden spezifischen Wärmekapazitäten:
Mit unseren Referenzwerten cp = 1005 J/(kg·K) und cv = 718 J/(kg·K) ergibt sich der gerundete, mit M01 konsistente Wert Rd = 287 J/(kg·K).
Dieselbe Energie, dieselbe Masse — zwei verschiedene Temperaturänderungen.
Das Lab führt zwei idealisierten trockenen Luftsystemen denselben Energiebetrag Q zu. Links bleibt das Volumen konstant; rechts bleibt der Druck konstant. Vergleiche direkt ΔTv und ΔTp.
Für Luftpakete ist cp besonders wichtig.
Atmosphärische Luftpakete bewegen sich meist nicht in starren Behältern. Bei Druckänderungen können sie expandieren oder komprimiert werden. Deshalb erscheint cp in vielen meteorologischen Beziehungen besonders häufig.
Das bedeutet nicht, dass reale Luftpakete immer exakt isobar erwärmt werden. cp ist vielmehr eine zentrale thermodynamische Stoffgröße, die zusammen mit Rd und cv die Energie- und Adiabatikbeziehungen bestimmt.
cp und cv sind nicht über beliebige Temperaturen konstant.
Das Modell verwendet konstante Referenzwerte für trockene Luft. In realen Gasen hängen die Wärmekapazitäten etwas von der Temperatur ab, weil zusätzliche molekulare Freiheitsgrade unterschiedlich stark angeregt werden.
Ein ideales Gas kann die Zustandsgleichung p = ρR T erfüllen, obwohl cp und cv temperaturabhängig sind. „Kalorisch perfekt“ ist die zusätzliche Annahme, dass diese Wärmekapazitäten im betrachteten Bereich konstant bleiben.
Drei typische Verwechslungen.
Nein. C beziehungsweise c beschreibt die Energie, die für eine Temperaturänderung unter einer definierten Prozessbedingung nötig ist.
Nein. Es ist dieselbe Luft; die Randbedingung des Prozesses ist verschieden.
Nein. Die Differenz zu c_v hängt mit der Expansionsarbeit zusammen; die vollständige Bilanz folgt in M2K4.
Wärmekapazität verbindet Energieübertragung und Temperaturänderung.
Wärmekapazität C ist extensiv und hat die Einheit J/K.
Spezifische Wärmekapazität c bezieht die Kapazität auf 1 kg.
Bei konstantem Volumen erhöht Q direkt die innere Energie.
Bei konstantem Druck gilt c_p > c_v, weil Expansion mitbilanziert wird.
Für ideales Gas: c_p − c_v = R_d.
M2K4 formuliert die vollständige Energiebilanz als ersten Hauptsatz.
Cross-References
Wie werden Wärme, innere Energie und Druck-Volumen-Arbeit in einer einzigen Energiebilanz zusammengeführt?