M1K7 · Barometrische Höhenformel

01 · Zwei Gleichungen, ein Profil

Hydrostatik allein ist noch nicht integrierbar, solange ρ unbekannt bleibt.

M1K6 zeigte lokal:

dp/dz = −ρg Der Druckgradient hängt von der lokalen Dichte ab.

Aus M1K4 kennen wir für trockene Luft:

ρ = p / (R_dT) Damit können wir ρ in der hydrostatischen Gleichung durch p und T ersetzen.

Herleitung der isothermen barometrischen Höhenformel aus Hydrostatik und idealer Gasgleichung. — M1K7 · Die zentrale Kopplung: lokale Hydrostatik plus Zustandsgleichung ergibt ein vertikales Druckprofil.

02 · Variablen trennen und integrieren

Bei konstantem T und g lässt sich die Gleichung direkt integrieren.

Einsetzen von ρ = p/(R_dT) in die Hydrostatik ergibt:

dp/dz = −[p/(R_dT)] g p steht nun auf beiden Seiten der Gleichung.

Nach Trennung der Variablen:

dp/p = −g/(R_dT) · dz

Wir integrieren von einem Referenzzustand (z₀,p₀) bis zum Zielzustand (z,p):

ln(p/p₀) = −g(z−z₀)/(R_dT)

p(z) = p₀ exp[−g(z−z₀)/(R_dT)] Isotherme barometrische Höhenformel.

03 · Skalenhöhe H

Eine einzige Länge bündelt Temperatur, Gaskonstante und Gravitation.

H = R_dT / g Damit wird p(z) = p₀ exp[−(z−z₀)/H].

Für T = 288,15 K ergibt sich H ≈ 8,43 km. Nach einer Skalenhöhe ist der Druck auf den Faktor e⁻¹ ≈ 0,368 gefallen. Nach zwei Skalenhöhen bleiben nur noch etwa 13,5 %.

Skalenhöhe und exponentielle Druckabnahme im isothermen Modell. — M1K7 · H ist keine Atmosphärengrenze, sondern die charakteristische Längenskala der Exponentialfunktion.

04 · Höhe aus Druck

Die Formel lässt sich auch invertieren.

Wird nicht der Druck in einer Höhe gesucht, sondern die Höhendifferenz zwischen zwei Druckniveaus, erhalten wir:

z − z₀ = H ln(p₀/p) Gültig innerhalb desselben isothermen Modells.

Diese Beziehung erklärt, warum gleiche absolute Druckdifferenzen in verschiedenen Höhen nicht gleichen Höhendifferenzen entsprechen. Entscheidend ist das Druckverhältnis.

05 · Barometric Profile Lab

Temperatur verändert die vertikale Druckskala.

Die gesamte Bedienoberfläche bleibt kompakt in einer Konsole. Stelle Referenzdruck, konstante Modelltemperatur und Zielhöhe ein. Das Profil und alle Kennwerte reagieren gleichzeitig.

Isothermes Profil p(z) = p₀ exp[−z/H]

Referenzdruck p₀1013,25 hPa

konstante T15,0 °C

Zielhöhe z5500 m

Skalenhöhe H—

Druck p(z)—

p/p₀—

Dichte ρ(z)—

Inverse Größe z_½ = H ln 2 Halbdruckhöhe: —

Modellgrenze T bleibt über die gesamte Säule konstant. Das ist bewusst ein Referenzmodell, keine Standardatmosphäre.

06 · Temperatureffekt

Wärmere Luft vergrößert die Skalenhöhe.

Da H proportional zu T ist, nimmt der Druck in einer wärmeren isothermen Säule langsamer mit der geometrischen Höhe ab. Das bedeutet nicht, dass „warme Luft mehr Druck“ haben muss; es beschreibt die vertikale Verteilung bei gleichem Referenzdruck p₀.

H ∝ T Bei gleichem g und gleicher Gaskonstante.

07 · Modellgrenzen

Die isotherme Höhenformel ist fundamental — und bewusst idealisiert.

In der realen Troposphäre ändert sich die Temperatur mit der Höhe. Damit ist T nicht konstant und die hier verwendete einfache Exponentialform nicht exakt. Außerdem ändern sich g und die Zusammensetzung in großen Höhen geringfügig.

Warum das Modell trotzdem wichtig ist

Es zeigt unmittelbar, warum Druckabnahme exponentiell und nicht linear ist, führt die Skalenhöhe ein und bildet die mathematische Basis für realistischere vertikale Profile. M1K8 untersucht die tatsächliche Schichtung; M1K9 setzt daraus eine Standardatmosphäre zusammen.

08 · Fehlmodelle vermeiden

Drei typische Fehlinterpretationen.

×

„Der Druck halbiert sich alle festen 5 km.“

Nein. Die charakteristische Höhe hängt von T ab; im isothermen Modell ist die Halbdruckhöhe H ln 2.

×

„H ist die Höhe der Atmosphäre.“

Nein. H ist eine mathematische Skalenlänge. Die Atmosphäre besitzt keine scharfe Obergrenze bei z = H.

×

„Die Exponentialform gilt exakt für die reale Troposphäre.“

Nein. Die hier hergeleitete Form setzt eine konstante Temperatur voraus.

09 · Ergebnis

Aus dem lokalen Druckgradienten ist ein vollständiges Vertikalprofil geworden.

1 · Kopplung

Hydrostatik und Gasgesetz schließen gemeinsam das Dichteproblem.

2 · Exponentialfunktion

Bei konstantem T gilt p(z)=p₀ exp[−(z−z₀)/H].

3 · Skalenhöhe

H=R_dT/g bündelt thermischen und gravitativen Einfluss.

4 · Druckverhältnis

Höhendifferenzen hängen logarithmisch vom Verhältnis p₀/p ab.

5 · Temperatur

Höhere T vergrößert H und dehnt das Druckprofil.

6 · Nächster Schritt

M1K8 löst die isotherme Annahme und betrachtet die reale vertikale Schichtung.

Cross-References

M1K4 · Ideale Gasgleichung M1K6 · Hydrostatisches Gleichgewicht M1K8 · Vertikale Atmosphärenschichtung M1K9 · Standardatmosphäre M02 · Wärme & Thermodynamik

Nächster Schritt · M1K8 Vertikale Atmosphärenschichtung

Wie verändert sich Temperatur tatsächlich mit der Höhe — und warum entstehen Troposphäre, Stratosphäre und weitere thermische Schichten?

Warum fällt Druck exponentiell?