Wir betrachten nicht mehr die ganze Atmosphäre, sondern eine dünne Schicht.
Eine horizontale Luftschicht mit Fläche A und Dicke Δz besitzt bei näherungsweise homogener Dichte die Masse ρAΔz. Auf sie wirken drei vertikale Beiträge: die Druckkraft von unten, die Druckkraft von oben und ihr Gewicht.
Im Gleichgewicht ist die Summe der vertikalen Kräfte null.
Nach Division durch AΔz erhalten wir:
Im Grenzübergang Δz → 0 wird aus dem Differenzenquotienten die Ableitung:
Das Vorzeichen ist keine Konvention ohne Inhalt.
Wir definieren die Höhe z positiv nach oben. Da über einem höheren Punkt weniger Luftmasse liegt, nimmt der Druck nach oben ab. Deshalb ist dp/dz negativ.
Steigt z um ein kleines Stück dz, dann sinkt p um den Betrag ρg·dz. Größere Dichte bedeutet bei gleichem g einen stärkeren lokalen Druckabfall pro Höhenmeter.
Die Dichte steuert lokal die Steilheit des Druckprofils.
Bei dichterer Luft ist der Betrag des Druckgradienten größer. In weniger dichter Luft fällt der Druck pro Höhenmeter langsamer. Genau diese Rückkopplung verhindert eine einfache lineare Extrapolation über die gesamte Atmosphäre.
Wie groß ist der Druckabfall über eine dünne Luftschicht?
Das Lab behandelt die Dichte innerhalb der betrachteten Schicht als konstant. Stelle Dichte, Schichtdicke und unteren Druck ein. Daraus folgen Druckgradient und Druck am oberen Rand.
Hydrostatisch heißt nicht, dass die gesamte Atmosphäre unbewegt sein muss.
Die Gleichung setzt voraus, dass die vertikale Beschleunigung gegenüber der Druckgradientkraft und Gravitation klein ist. Großräumig ist diese Näherung in weiten Teilen der Atmosphäre sehr gut — obwohl gleichzeitig horizontale Winde existieren können.
In starken Auf- und Abwinden, intensiver Konvektion oder kleinräumigen Beschleunigungen kann die vertikale Bewegungsgleichung von der hydrostatischen Balance messbar abweichen.
Hydrostatik ist ein Spezialfall der Bewegungsgleichung.
Der vertikale Druckgradient erzeugt eine Kraft pro Volumen von −dp/dz. Pro Masseneinheit ergibt sich:
Diese Form ist später wichtig, wenn wir Hydrostatik mit der allgemeinen atmosphärischen Bewegungsgleichung aus Modul 05 verbinden.
Drei typische Verwechslungen.
Nein. Horizontale Bewegung kann gleichzeitig stark sein; entscheidend ist die näherungsweise vertikale Kräftebalance.
Nur lokal bei annähernd konstanter Dichte. Über größere Höhen ändert sich ρ selbst deutlich.
Nein. Druckkräfte wirken jeweils normal auf die Grenzfläche: unten nach oben, oben nach unten.
Die globale Luftsäule ist jetzt lokal differenziert.
Eine dünne Luftschicht besitzt die Masse ρAΔz.
Druckkräfte oben und unten sowie Gewichtskraft bestimmen die vertikale Bilanz.
Im Gleichgewicht gilt dp/dz = −ρg.
Bei z nach oben ist der vertikale Druckgradient negativ.
Größere ρ bedeutet lokal einen stärkeren Druckabfall pro Höhenmeter.
M1K7 verbindet Hydrostatik und Gasgleichung zur barometrischen Höhenformel.
Cross-References
Was passiert, wenn wir dp/dz = −ρg mit p = ρRdT koppeln und über die Höhe integrieren?